Απόδειξη υπολογισμού εμβαδών επιπέδων σχημάτων

Τα εμβαδά των βασικών επιπέδων σχημάτων που διδάσκονται στο δημοτικό σχολείο τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες: α) Παραλληλόγραμμα και β) κυκλικός δίσκος.

Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν: τετράγωνο, ρόμβο, ορθογώνιο, πλάγιο παραλληλόγραμμο. Στην κατηγορία αυτή εντάσσουμε: 1) το τρίγωνο, το οποίο σε έκταση είναι το μισό του κάθε είδους παραλληλογράμμου και 2) το τραπέζιο, το οποίο μπορεί να μετασχηματιστεί σε παραλληλόγραμμο, όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω και φαίνεται στο σχήμα 3.

Στην πρώτη αυτή κατηγορία των παραλληλογράμμων το εμβαδόν βρίσκεται, αν πολλαπλασιάσουμε τη βάση με το ύψος (Ε= β * υ). Αυτό αποδεικνύεται:

Στο ορθογώνιο (σχήμα 1) φαίνεται αυτό καθαρά, αν χωρίσουμε την επιφάνεια του σε τετραγωνικές μονάδες. Το πλήθος των τετραγωνικών μονάδων είναι το γινόμενο της βάσης του ορθογωνίου επί του ύψους του. 

Το πλάγιο παραλληλόγραμμο (σχήμα 2) ακολουθεί τον ίδιο κανόνα, γιατί αν φέρουμε το ύψος του (υ) και από τις δύο κορυφές του Β και Γ, φαίνεται καθαρά ότι το εμβαδόν του ΑΒΓΔ είναι ίσο με το εμβαδόν του ΒΓΖΕ, το οποίο είναι ορθογώνιο με βάση ΕΖ = β και ύψος ΒΕ = υ.

Το τραπέζιο (σχήμα 3) μετασχηματίζεται σε παραλληλόγραμμο. Αυτό επιτυγχάνεται, αν κόψουμε στα δύο το τραπέζιο (στο ύψος του μισού του ύψους του) και το κομμάτι το σκιαγραφημένο το προσαρμόσουμε, αφού το στρέψουμε κατά 180^ο , στο υπόλοιπο κομμάτι του. Έτσι προκύπτει ένα παραλληλόγραμμο με βάση το άθροισμα των δύο βάσεων του τραπεζίου (Β + β) και ύψος το μισό του ύψους του τραπεζίου (υ/2).  Άρα εμβαδόν τραπεζίου=  (Β + β) * υ/2= βάση * ύψος.

Αναφορικά με τον κυκλικό δίσκο (σχήμα 4), το εμβαδόν του μπορεί να αποδειχθεί επαγωγικά. Στον κυκλικό δίσκο εγγράφουμε ένα τετράγωνο. Το εμβαδόν αυτού του τετραγώνου μπορούμε να το υπολογίσουμε, αρκεί να το χωρίσουμε σε 4 τρίγωνα και υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός από αυτά. Άρα το εμβαδόν το υπολογίζουμε με τον τύπο 4*(πλευρά τριγώνου*υ/2). Αν τώρα, σταδιακά, φτιάχνουμε κανονικά πολύγωνα αυξάνοντας συνεχώς τον αριθμό των πλευρών τους, θα φτάσουμε (κάποια στιγμή) να έχουμε κατασκευάσει ένα κανονικό πολύγωνο (με ν πλευρές) που το άθροισμα των πλευρών του να προσεγγίζει το μήκος της περιφέρειας του κυκλικού δίσκου (2πR) και το ύψος κάθε τριγώνου θα τείνει να είναι ίσο με την ακτίνα (R) του κυκλικού δίσκου. Έτσι, το άθροισμα των εμβαδών όλων αυτών των τριγώνων θα τείνει να είναι ίσο με το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Θα έχουμε δηλαδή:

Ε= ν * (πλευρά τριγώνου* υ/2) =  (ν * πλευρά τριγώνου) * υ/2 = 2πR * R/2= πR² .

Πέρα όμως από αυτήν την τελευταία απόδειξη είναι πολύ ενδιαφέρον να δείτε έναν χειροπιαστό τρόπο υπολογισμού του εμβαδού του κυκλικού δίσκου. Θα τον δείτε σε ένα video που το βρήκα στο  youtube στην ηλεκτρονική διεύθυνση http://www.youtube.com/user/minutephysics/videos καθώς και στο ιστολόγιο της εκπαιδευτικού κ. Τίνας Νάντσου (http://tinanantsou.blogspot.gr/).

Δείτε το video, έχει πολύ ενδιαφέρον. Τον τρόπο αυτόν μπορείτε να τον επαναλάβετε στην τάξη σας!!!