Νοεροί υπολογισμοί πρόσθεσης και αφαίρεσης διψήφιων αριθμών

Ο νοερός υπολογισμός μπορεί να οριστεί ως η διαδικασία εκείνη κατά την οποία το άτομο εκτιμά με ακρίβεια το αριθμητικό αποτέλεσμα χωρίς τη βοήθεια εξωτερικού μέσου, π.χ. συγκεκριμένων αντικειμένων, μολυβιού και χαρτιού κτλ. (Maclellan, 2001, 145-146). Γίνεται με τρόπο συνειδητό από τον άνθρωπο με τη χρήση κάθε φορά μιας στρατηγικής, η οποία τον οδηγεί στην επίλυση καθημερινών προβλημάτων με γρήγορο τρόπο (Λεμονίδης, 2003).

Οι νοεροί υπολογισμοί διψήφιων αριθμών στην πρόσθεση και στην αφαίρεση εμπεριέχουν ένα ευρύ φάσμα από στρατηγικές, όπως έχει βρεθεί από πλήθος ερευνών, σύμφωνα με τη διεθνή βιβλιογραφία (Maclellan, 2001˙ Threlfall, 2002˙ Lucangeli et al., 2003˙ Macintyre & Forrester, 2003˙ Heirdsfield & Cooper, 2004˙ Heirdsfield & Lamb, 2005˙ Λεμονίδης, 2003˙ Λεμονίδης, 2006˙ Varol and Farran, 2007) {όπως αναφέρεται από τον Καραντζή, 2011, σελ. 103}.

Από έρευνες έχει βρεθεί ότι οι πιο εύχρηστες στρατηγικές για τους μαθητές του δημοτικού είναι οι στρατηγικές 1010, Ν10 και αυτή που βασίζεται στον παραδοσιακό αλγόριθμο.

Στρατηγική 10-10: Σύμφωνα με αυτήν τη στρατηγική, υπολογίζονται πρώτα οι δεκάδες και μετά οι μονάδες (π.χ. 54+25: 50+20=70, 4+5=9, 70+9=79 και 58-26: 50-20=30, 8-6=2, 30+2=32 ) ή πρώτα οι μονάδες και μετά οι δεκάδες. Στην αφαίρεση με κρατούμενο, οι αριθμοί αναλύονται στις δεκάδες τους και στη συνέχεια στη διαφορά των δεκάδων τους προστίθενται οι μονάδες του μειωτέου και από το άθροισμα αυτό αφαιρούνται οι μονάδες του αφαιρετέου (π.χ. 84-69: 80-60=20, 20+4=24, 24-9=15).

Στρατηγική Ν10: Σύμφωνα με αυτήν τη στρατηγική για την πρόσθεση, στον πρώτο προσθετέο προστίθενται πρώτα οι μονάδες του δεύτερου προσθετέου και μετά οι δεκάδες του (π.χ. 54+25: 54+5=59, 59+20=79) ή πρώτα οι δεκάδες και μετά οι μονάδες του (π.χ. 54+25: 54+20=74, 74+5=79). Αναφορικά με την αφαίρεση,  αφαιρούνται από τον μειωτέο πρώτα οι μονάδες του αφαιρετέου και μετά οι δεκάδες του (π.χ. 58-26: 58-6=52, 52-20=32) ή πρώτα οι δεκάδες και μετά οι μονάδες (π.χ. 58-20=38, 38-6=32).

Στρατηγική που βασίζεται στον παραδοσιακό αλγόριθμο: Ο παραδοσιακός αλγόριθμος εκτελείται νοερά ακολουθώντας τον αλγόριθμο της κάθετης πρόσθεσης ή αφαίρεσης (π.χ. 54+25: 5+4=9, 5+2=7. Άθροισμα: 79 και 46-25:  5 από 6 μας δίνει 1, 2 από 4 μας δίνει 2. Άρα η απάντηση είναι 21).

Η χρήση της στρατηγικής Ν10, όπως έχει αποδειχθεί από έρευνες (Καραντζής, Δεσποτοπούλου και Σμάνη, 2010), οδηγεί σε σημαντική μείωση των λαθών των μαθητών κυρίως κατά τη διαδικασία του νοερού υπολογισμού της αφαίρεση με κρατούμενο. Η επιλογή της στρατηγικής 10-10 (που συνήθως επιλέγεται πιο συχνά από τους μαθητές) δημιουργεί δυσκολίες, στην αφαίρεση με κρατούμενο, καθώς στο αποτέλεσμα της αφαίρεσης των δεκάδων πρέπει οι μαθητές να προσθέσουν τις μονάδες του μειωτέου και από αυτό το άθροισμα να αφαιρέσουν στη συνέχεια τις μονάδες του αφαιρετέου. Επιπλέον, η στρατηγική 10-10 είναι μια στρατηγική με περισσότερα νοερά νοητικά βήματα (σε σχέση με τη Ν10) και ως εκ τούτου, όσο αυξάνεται ο αριθμός των διαφορετικών νοερών νοητικών βημάτων που απαιτούνται για την επίλυση ενός προβλήματος, τόσο αυξάνονται τα λάθη κατά την εκτέλεση αυτών των βημάτων, λόγω υπερφόρτωσης της εργαζόμενης μνήμης. Έτσι, ως αντιστάθμισμα αυτού του γεγονότος, ίσως θα μπορούσε ο εκπαιδευτικός να παροτρύνει τους μαθητές του να χρησιμοποιούν, σε αυτές τουλάχιστον τις περιπτώσεις, τη στρατηγική Ν10.

Σε άλλη ανάρτησή μας θα προτείνουμε κατάλληλες δραστηριότητες παιγνιώδους μορφής, που έχουν αποδειχθεί από έρευνες, ότι συμβάλλουν θετικά στη βελτίωση της απόδοσης των μαθητών κατά τον νοερό υπολογισμό της πρόσθεσης και αφαίρεσης διψήφιων αριθμών και βασίζονται στη στρατηγική Ν10 (Καραντζής, 2011).

Πηγές:

Καραντζής, Ι. & Τόλλου, Μ. (2009). Ο νοερός αριθμητικός υπολογισμός των μαθητών της Γ΄ τάξης του δημοτικού σχολείου στις προσθέσεις και αφαιρέσεις διψήφιων αριθμών.  Παιδαγωγική Επιθεώρηση, 48, 107-123.

Καραντζής, Ι. (2011). Ο δάσκαλος στη σχολική τάξη: Ψυχο-Παιδαγωγικές και Διδακτικές εφαρμογές. Αθήνα: ΙΩΝ.

Καραντζής Ι., Δεσποτοπούλου Α., Σμάνη Α.(2010). Οι νοεροί αριθμητικοί υπολογισμοί στην πρόσθεση και αφαίρεση διψήφιων αριθμών. Ανάλυση των λαθών των μαθητών της Γ΄ και Δ΄ τάξης του δημοτικού σχολείου. Πρακτικά του 7ου Πανελληνίου Συνεδρίου της Παιδαγωγικής Εταιρείας Ελλάδος. Ρέθυμνο.

Κολέζα, Ε. (2009). Θεωρία και Πράξη στη διδασκαλία των Μαθηματικών (β΄ έκδοση). Αθήνα: Τόπος.

Λεμονίδης, Χ. (2003). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου, Αθήνα: Πατάκης.